Матричная модель бухгалтерского учета и формирования балансовой отчетности

Занятие № 4




Бухгалтерский учет как объект математического моделирования рассматривался такими российскими авторами, как Руссиян, Попов, Колпотин, Шерр, Рудановский, Блатов, Вейцман.

Впервые задачу представления бухгалтерского учета в виде уравнений сформулировал итальянский профессор информатики Ломбарди в 1967 г.:



1. Задача бухгалтерского учета известна только в терминах ее процедуры.

2. Легко составить блок-схему любой задачи, так как блок-схема только отражает ее шаги.

3. Необходимо найти способ определения такой задачи в компактном виде, подобном описаниям математической задачи, посредством уравнения.

Цитата из Ломбарди.


История науки показывает, что не всегда связь в виде математического уравнения может быть установлена сразу и непосредственно.

Например, долгое время процедуры решения систем линейных уравнений не были представлены в виде уравнения, содержащего решения.



И только средствами матричной алгебры удалось записать СЛУ в виде матричной алгебры:




Ax = b,\quad \text{откуда} \quad x = A^{-1} \cdot b.



Аналогичное положение имеет место в бухгалтерском учете.



Построение матричной модели бухгалтерского учета сводится к следующим шагам:

1) первичным записям-проводкам ставятся в соответствие их эквивалентные образы в виде матриц;

2) операциям по преобразованию данных ставятся в соответствие их эквиваленты в системе матричной алгебры;

3) связь входящих и исходящих сальдо устанавливается с помощью матричного уравнения (основного уравнения бухгалтерского учета в матричной форме);

4) преобразование основных уравнений позволяет найти формулы для решения задачи формирования балансовых отчетов в системе матричной алгебры;

5) эти матричные формулы являются эквивалентами связей и показателей, представленных в таблицах балансовых отчетов.



Основные определения матричной модели



Бухгалтерский учет решает две основные задачи:

1. Формирует первичные записи.

2. Преобразует эти записи в балансовый отчет.

Введем в основу рассматриваемой системы два основных определения:




1. Матрица-корреспонденция — это квадратная матрица, определенная на плане счетов, в которой на пересечении дебета и кредита находится единица, а остальные элементы равны нулю.

Обозначается E(X; Y), где X и Y принадлежат множеству счетов.

2. Матрица-проводка — это произведение суммы операции на матрицу-корреспонденцию.

M(X; Y) = S_{X; Y} \cdot E(X; Y), где S_{X; Y} — сумма операции.



Здесь и далее первый символ в аббревиатуре M обозначает матрицы, B — векторы.

Пример:

Дт 50, Кт 51 — 1000 д.е.

M(50; 51) = 100~\cdot\quad \underbrace{\begin{array}{c|cccccc|} \mbox{Д}\backslash\mbox{К} & 01 & \ldots & 50 & 51 & \ldots & 99 \\hline 01 & & & & \vdots & & \ \ldots & & & & \vdots & & \ 50 & \hdotsfor[2]{3} & 1 & & \ 51 & & & & & & \ \ldots & & & & & & \ 99 & & & & & & \ \end{array}}_{\mbox{МК}} = \underbrace{\begin{array}{c|cccccc|} \mbox{Д}\backslash\mbox{К} & 01 & \ldots & 50 & 51 & \ldots & 99 \\hline 01 & & & & \vdots & & \ \ldots & & & & \vdots & & \ 50 & \hdotsfor[2]{3} & 100 & & \ 51 & & & & & & \ \ldots & & & & & & \ 99 & & & & & & \ \end{array}}_{\mbox{МП}}



Журнал операций:

№ Сумма Корр. счетов Содержание
Д К
1 100 20 70 Начислена заработная плата.
2 13 70 68 Удержан подоходный налог.
3 26 20 69 Начислен ЕСН.
4 200 20 70  
5 26 70 68  
6 52 20 69  




\Big\uparrow\Big\downarrow



\text{МО} = \sum\limits_{i=1}^{n}S_i \cdot E(X; Y) = 100 \cdot E(20; 70) + 13 \cdot E(70; 68) + 26 \cdot E(20; 69) + \ \mbox{\qquad\qquad\qquad} + 200 \cdot E(20; 70) + 26 \cdot E(70; 68) + 52 \cdot E(20; 69).



После приведения подобных получаем матрицу дебетовых оборотов



\text{МДО} = \sum\limits_{X=C_1}^{\mathstrut C_m}\sum\limits_{Y=C_1}^{\mathstrut C_n}S_{X; Y}E(X; Y) = 300\cdot E(20; 70) + 39\cdot E(70; 68) + 78\cdot E(20; 69) = \ \mbox{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad} = \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline & 20 & 68 & 69 & 70 & \Sigma \\hline 20 & & & 78 & 300 & 378 \\hline 68 & & & & & \\hline 69 & & & & & \\hline 70 & & 39 & & & 39 \\hline \Sigma & & 39 & 78 & 300 & 417 \\hline \end{array}



Связь между входящими и исходящими остатками устанавливается с помощью основного уравнения бухгалтерского учета:




\underbrace{\text{МС}_{t-1}}_{\mbox{\parbox[t]{1.6cm}{\centering матрица\ сальдо\ на~начало\ периода}}} + \underbrace{\text{МДО}_{t-1, t}}_{\mbox{\parbox[t]{1.6cm}{\centering матрица\ дебетовых\ оборотов}}}\; - \text{ МКО}_{t-1, t} = \text{МС}_t



\Delta t = (t-1; t)

\text{МКО}\; = \underbrace{\text{МДО}'}_{\mbox{транспо\lefteqn{\mbox{нированная матрица дебетовых оборотов.}}}}

\text{МС}_t — матрица сальдо на конец периода, является МС на начало периода для следующего периода.

\text{МКО} = \text{МДО}' = \Big[ \sum\sum S_{X, Y}\cdot E(X; Y) \Big]' = \sum\sum S_{X, Y}\cdot E(Y; X).

В нашем примере:

\text{МКО} = \sum\sum S_{X, Y}\cdot E(Y; X) = 300\cdot E(70; 20) +39\cdot E(68; 70) + 78\cdot E(69; 20) = \ \mbox{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad} = \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline & 20 & 68 & 69 & 70 & \Sigma \\hline 20 & & & & & \\hline 68 & & & & 39 & 39 \\hline 69 & 78 & & & & 78 \\hline 70 & 300 & & & & 300 \\hline \Sigma & 378 & & & 39 & 417 \\hline \end{array}.

Получение балансового отчета на основе математической модели осуществляется путем элементарного преобразования — умножения обеих частей на вектор формирования итогов:

e = \begin{pmatrix}1\ 1\ \ldots\ 1 \end{pmatrix}

Пример:    e = \begin{pmatrix}1 & 2\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\ 7 \end{pmatrix}.



Для окаймленных матриц:    e = \left(\begin{array}{c}0 \ \vdots \ 0 \\hline 1 \ \end{array}\right).

Окаймленными называются матрицы с итогами.


Пример:    \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \ 3 & 4 & 7 \\hline 4 & 6 & 10 \ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \ 0 \\hline 1 \ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \ 7 \\hline 10 \ \end{array}\right).



e' \cdot \text{МДО} \cdot e = \text{общий итог}

В нашем примере — 10.


Таким образом,

\text{МС}_{t-1}\cdot e + \text{МДО}\cdot e - \text{МКО}\cdot e = \text{МС}_t\cdot e.

\text{ВС}_{t-1} + \text{МДО}\cdot e - \text{МКО}\cdot e = \text{ВС}_t,

где \text{ВС}_{t-1} = \text{МС}_{t-1}\cdot e.

\text{ВС}_{t} = \text{МС}_{t}\cdot e.

\text{ВС}_{t-1} + \text{МДО}\cdot e - \text{ВКО} = \text{ВС}_{t}, \;\text{где}\; \text{ВКО} = \text{МКО} \cdot e  — уравнение главной книги.

\text{ВС}_{t-1} + \text{ВДО} - \text{МКО}\cdot e = \text{ВС}_{t}  — правосторонняя главная книга, где развернуты только кредитовые обороты.

\text{ВС}_{t-1} + \text{ВДО} - \text{ВКО} = \text{ВС}_{t}  — уравнение оборотно-сальдового баланса.



Запишем по данным нашего примера главную книгу:

\text{ВС}_{t-1} + \text{МДО}\cdot e - \text{ВКО} = \text{ВС}_{t}.

\begin{array}{c} \text{ВС} \ \left(\begin{array}{c}0\0\0\0\\hline 0 \ \end{array}\right) \end{array} + \begin{array}{cc} & \begin{array}{ccccc}20&68&69&70\phantom{0}&\Sigma\phantom{30}\end{array} \ \begin{array}{c}20\68\69\70\\Sigma\end{array} & \left(\begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 78 & 300\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 39 & 0 & 0 & 39\\hline 0 & 39 & 78 & 300 & 417 \end{array}\right) \end{array} \cdot \begin{array}{c} e \ \left(\begin{array}{c}0\0\0\0\\hline 1 \ \end{array}\right) \end{array} - \begin{array}{c} \text{ВКО} \ \left(\begin{array}{c}0\39\78\300\\hline 417 \ \end{array}\right) \end{array} = \begin{array}{c} \text{ВС}_{t} \ \left(\begin{array}{c}+378\-39\-78\-261\\hline 0 \ \end{array}\right) \end{array}

Это — алгебраическое представление главной книги.



\Big\uparrow\Big\downarrow



Бухгалтерская запись главной книги:

Счета Сальдо С кредита В дебет Итого
Дт 		Итого
Кт 		Сальдо
Д К 20 68 67 71 Д К
20 0 0 0 0 78 300 378 0 378 0
68 0 0 0 0 0 0 0 39 0 39
69 0 0 0 0 0 0 0 78 0 78
70 0 0 0 39 0 0 39 300 0 261
Итого 0 0 0 39 78 300 417 417 378 378